Диссертация

Об одном специальном случае сложения натуральных чисел

Филимоненков Д.О.

Екатеринбург, 2006
на правах рукописи

Данная работа посвящена рассмотрению одного специального случая сложения двух натуральных чисел. Обосновывается применимость к данному случаю некоторых алгоритмов сложения, рассматриваются также ряд следствий. Результаты работы опробованы на практике.



Содержание:

1. Введение

2. Постановка задачи и ее актуальность

3. Доказательство основной теоремы

4. Следствия и практические приложения



1. Введение

Сложение натуральных чисел - широко используемая в современной математике операция. В частности, она применяется в таких областях, как математический и функциональных анализ [1,2], алгебраическая топология [3], теория вероятностей [4], а также в разработке современных языков и средств программирования для ЭВМ, см., например, [5,6]. Однако приходится признать, что в современной математической литературе рассмотрены далеко не все случаи сложения натуральных чисел. Данная работа посвящена устранению этого недостатка в одном конкретном случае.

В работе применяется стандартная запись натуральных чисел с помощью позиционной системы счисления с основанием 10 (см, напр [7]). Для обозначения операции сложения везде используется знак "+" (плюс), для обозначения операции умножения используется знак "*" (звездочка). Для обозначения взаимной простоты натуральных чисел никакой специальный знак (в отличие от [8]) не используется.

2. Постановка задачи и ее актуальность

Целью работы является находжения результата применения операции сложения к натуральным числам 123456789012345678901234567890123 и 8. Основной результат работы состоит в доказательстве утверждения, что


123456789012345678901234567890123 + 8 = 123456789012345678901234567890131


Результаты вычисления суммы этих натуральных чисел в литературе не встречаются, однако необходимость получения точного значения такой суммы может возникнуть в различных областях народного хозяйства и науки, что обосновывает актуальность полученных результатов. Следует особо отметить, что данная вычислительная задача трудноразрешима современными вычислительными методами, так как калькулятор в операционной системе Windows [9] работает только с натуральными числами, имеющими до 32 разрядов в десятичной записи.

3. Доказательство основной теоремы

Доказательство основного результата идейно восходит к алгоритму так называемого "сложения в столбик". Применение этого алгоритма в более ранних экспериментах [10] дало устойчивый положительный результат. Автор считает своим долгом выразить искреннюю признательность разработчикам этого полезного алгоритма.

Для доказательства представим требуемую нам сумму 123456789012345678901234567890123 + 8 в виде 8 + 123456789012345678901234567890123, что является эквивалентной заменой в силу коммутативности сложения в кольце целых чисел, см [11]. Теперь представим второе слагаемое в виде 1234567890123456789012345678901*100 + 2*10 + 3. Тогда, в силу уже отмечавшейся коммутативности сложения, а также его ассоциативности получаем

8 + 123456789012345678901234567890123 = 8 + 1234567890123456789012345678901*100 + 2*10 + 3 =
1234567890123456789012345678901*100 + 2*10 + (3 + 8)

В силу того, что 3 + 8 = 11 (см [12]) имеем

8 + 123456789012345678901234567890123= 1234567890123456789012345678901*100 + 2*10 + 11, а тогда, применяя дистрибутивность сложения относительно умножения, получаем

8 + 123456789012345678901234567890123 = 1234567890123456789012345678901*100 + 2*10 + 1*10 + 1 = 1234567890123456789012345678901*100 + (2+1)*10 + 1.

Так как 2 + 1 = 3, в чем можно убедиться на пальцах, окончательно получаем:

8 + 123456789012345678901234567890123 = 1234567890123456789012345678901*100 + 3*10 + 1 = 123456789012345678901234567890131,

что и требовалось доказать.

4. Следствия и практические приложения

Следствие 1. 90123 + 8 = 90131.

Доказательство: Этот результат можно получить, если из правой и левой части доказанного утверждения вычесть 123456789012345678901234567800000.
Удивительно, но даже такой относительно простой факт до сих пор в научной литературе нигде не освещен.

Следствие 2. 8 + 90123 = 90131.

Это равенство получается применением закона коммутативности сложения к левой части утверждения следствия 1.

Следствие 3. 90131 - 8 = 90123.

Здесь знак "минус" означает операцию вычитания, то есть операцию, обратную к операции сложения в группе целых чисел относительно сложения. Данный результат непосредственно следует из определения операции вычитания.

Результаты работы непосредственно проверялись автором при проведении эконометрических исследований во время прохождения практики в крупной торговой фирме. По результатам
работы руководством фирмы автору была начислена зарплата в размере 90131 копейки. Однако из-за систематических опозданий на работу, связанных с учебой в магистратуре, на автора был наложен штраф в размере 8 копеек. Применение результатов данной работы позволило предсказать, что в результате выплаченная сумма будет составлят 90123 копейки, что дало полное согласие с экспериментальными данными, полученными при пересчете.

Автор выражает свою благодарность всем, дочитавшим до этого места.

Литература:
1. Лузин Дифференциальное и интегральное исчисление
2. Соболев. Введение в теорию кубатурных формул
3. Гротендик, Дьедонне. Элементы алгебраической геометрии
4. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, (в 2-х томах)
5. Ахо, Сети, Ульман. Компиляторы: принципы, технологии и инструменты
6. Wirth. PASCAL-S: A Subset and its Implementation
7. Оре. Приглашение в теорию чисел
8. Грэхем, Кнут, Поташник. Конкретная математика
9. http://www.microsoft.com/
10. Математика 3 класс.
11. Бухштаб. Теория чисел
12. Математика. 1 класс